Tình hư ảo
 

Anh tìm em trên vòng tròn lượng giác,
Nét diễm kiều trong tọa độ không gian.
Đôi trái tim theo nhịp độ tuần hoàn,
Còn tất cả chỉ theo chiều hư ảo.

Bao mơ ước, phải chi là nghịch đảo,
Bóng thời gian, quy chiếu xuống giản đồ.
Nghiệm số tìm, giờ chỉ có hư vô,
Đường hội tụ, hay phân kỳ giải tích.

Anh chờ đợi một lời em giải thích,
Qua môi trường có vòng chuẩn chính phương.
Hệ số đo cường độ của tình thương,
Định lý đảo, tìm ra vì giao hoán.

Nếu mai đây tương quan thành gián đoạn,
Tính không ra phương chính của cấp thang.
Anh ra đi theo hàm số ẩn tàng,
Em trọn vẹn thành phương trình vô nghiệm .

Toàn Phong

Thơ tình Toán Học


Ta gặp nhau qua phương trình thể tích
Ánh mắt buồn những chẳng kém thiết tha
Góc độ nào mà tính mãi không ra
Hay "nghịch biến " cho lòng hoài xa cách

Đời "nghịch số " nên em không oán trách
"Giới hạn " lòng cho sầu khổ vơi đi
"Định lý" nào mà ngăn được bờ mi
Không rơi rớt hạt châu buồn hận tủi

"Tâm điểm " kia chứa chút tình ngắn ngủi
Nên đau buồn là "hệ luận "trần gian
Tình yêu em dù chứa đựng ngút ngàn
Nhưng "vô cực" là niềm đau "Bất biến"

Ân tình anh dù luôn luôn "biễu hiện"
Nhưng đường đời mình hai kẻ "song song"
Yêu thuơng chi chỉ là những hoài công
Nên "ẩn số " tình yêu không "tụ điểm"

(st)
 

====

Bài số 1 của kỳ thi giỏi toán Trung Quốc năm 2010



Võ Đức Diên


Vòng tròn Г1 và Г2 cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng xuyên qua điểm B cắt Г1 và Г2 theo thứ tự tại hai điểm C và D. Một đường thẳng khác xuyên qua điểm B cắt Г1 và Г2 theo thứ tự tại hai điểm E và F. Phân đoạn CF cắt Г1 và Г2 theo thứ tự tại P và Q. Cho M và N theo thứ tự là trung điểm của cung PB và QB. Chứng minh rằng nếu CD = EF, thì C, F, M và N cùng nằm trên một vòng tròn.



Bài giải





Kéo dài AB để gặp CF tại G. Ta sẽ chứng minh rằng BG là phân giác của góc ∠CBF. Ta có CB x CD = CQ x CF và

FB x EF = FP x CF

Chia hai phương trình trên và biết rằng CD = EF, ta có EQ \f(CB,FB) = EQ \f(CQ,FP) .

Ta cũng có

PG x CG = GB x GA = QG x FG hay là EQ \f(QG,PG) = EQ \f(CG,FG) = EQ \f(QG + CG,PG + FG) = EQ \f(CQ,PF)



Từ đó suy nghiệm ra EQ \f(CG,FG) = EQ \f(CB,FB) hay là ∠CBG = ∠FBG và BG là phân giác của góc ∠CBF.



Vậy thì ba đường phân giác CM, FN và BG gặp nhau. Cho chùng gặp nhau tại điểm I trên BG. Bây giờ ta có IM x IC = IB x IA = IN x IF hay là IM/IN = IF/IC và hai tam giác IMN và IFC đồng dạng, có nghĩa là ∠IMN = ∠IFC, nhưng

∠IMN + ∠CMN = 180° hay là ∠CMN + ∠NFC = 180° và C, F, M và N cùng nằm trên một vòng tròn.



Suy luận ra từ bài toán này



Ta hãy chứng minh rằng MN || (song song với) O1O2 khi mà O1 và O2 theo thứ tự là tâm điểm của Г1 và Г2. Vì ∠CBG = ∠FBG, nên ∠ABD = ∠FBG hay là

AD = AF.



Cho K là trung điểm của cung FD; AK như vậy là đường kính của Г2.



∠MCP = ½ ∠BCP = ½ cung (DF – BQ) = cung (KF – NQ) hay là ∠MCP + ∠NFQ = cung (FK). Kéo dài MN để gặp Г2 tại L, ∠LNF = ∠MCP; do vậy, ∠KNL = ∠NFQ = ∠BAN (cùng chắn cung NB = NQ). Nhưng ∠ANK = 90° hay là AN ┴ NK. Như vậy, NL ┴ AG hay là MN || O1O2.